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⚖️ 第4课：比例的认识

两个比相等——比例的诞生

一、什么是比例？

当两个比的比值相等时，用等号连接，就组成了比例。

a : b = c : d  或  a⁄b = c⁄d
2 : 3 = 4 : 6

2÷3 = 2⁄3，4÷6 = 2⁄3，比值相等 ✓

💡 简单记忆

比是一个式子（2:3），比例是一个等式（2:3=4:6）。

比 → 两个数之间的关系

比例 → 两个比之间的关系

二、比例各部分名称

a : b = c : d
📝 例1

在 3 : 5 = 6 : 10 中，

外项：3 和 10；内项：5 和 6

外项积 = 3 × 10 = 30，内项积 = 5 × 6 = 30

外项积 = 内项积 ！

三、比例的基本性质

在比例 a : b = c : d 中
a × d = b × c
即：外项积 = 内项积
💡 为什么成立？

a : b = c : d → a⁄b = c⁄d

两边同时 × bd（b≠0, d≠0）：

a⁄b × bd = c⁄d × bd

ad = bc ✓

📝 例2：验证比例

题目：判断 4 : 7 = 12 : 21 是否成立。

外项积 = 4 × 21 = 84

内项积 = 7 × 12 = 84

84 = 84，比例成立 ✓

📝 例3：判断能否组成比例

题目：4, 5, 8, 10 能否组成比例？

尝试 4 : 5 = 8 : 10

外项积 = 4 × 10 = 40，内项积 = 5 × 8 = 40

40 = 40，能组成比例！

四、组比例的方法

给出 4 个数，怎样判断能否组成比例？

🔑 方法

  1. 把 4 个数按大小排列
  2. 最大 × 最小 = 中间两数之积 → 能组比例
  3. 最大数和最小数做外项，中间两数做内项
📝 例4

题目：用 2, 3, 4, 6 组比例。

排列：2, 3, 4, 6

最大×最小 = 6×2 = 12；中间积 = 3×4 = 12 ✓

组成比例：2 : 3 = 4 : 6（2,6做外项；3,4做内项）

还可以写成：2 : 4 = 3 : 6（交换内项位置，比例仍成立）

五、交叉相乘

比例 a⁄b = c⁄d 可以用交叉相乘验证：

a⁄b = c⁄d  ⟺  a × d = b × c

↙️↘️ ↘️↙️

左边分子×右边分母 = 左边分母×右边分子

📝 例5

判断 5⁄8 = 15⁄24 是否成立。

交叉相乘：5 × 24 = 120，8 × 15 = 120

120 = 120，成立 ✓

✏️ 课堂练习

练习1

写出 8 : 12 = 2 : 3 的外项和内项，并验证基本性质。

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外项：8和3，内项：12和2
外项积=8×3=24，内项积=12×2=24，相等✓
练习2

判断 3 : 7 = 9 : 20 是否成立。

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外项积=3×20=60，内项积=7×9=63，60≠63，不成立✗
练习3

用 3, 4, 6, 8 组比例。

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3×8=24，4×6=24，能组成比例
3:4=6:8 或 3:6=4:8
练习4

如果 5 : x = 10 : 6，利用比例的基本性质求 x。

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外项积=内项积：5×6=10×x
30=10x
x=3
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